LE CONICHE Giovanni Costantini IIIF

Il primo studio sulle coniche risale al matematico greco Apollonio di Perga (262 a.C.), che, grazie a quanto teorizzato nel primo libro del suo trattato "Le Coniche", permetterà alla matematica moderna di comprendere come, modificando l'inclinazione di un piano intersecato con un cono, sarà possibile generare una circonferenza, un'elisse, una parabola o un'iperbole.

Prima di entrare nel pieno del mondo delle coniche, è bene fare un'introduzione accurata a partire dalla definizione, e poi dalla costruzione, di una superficie conica:

Se da un punto [V] si traccia una retta [r] alla circonferenza [c] di un cerchio che non appartiene allo stesso piano del punto, e la retta è prolungata in entrambe le direzioni, e se tenendo fisso il punto la retta è fatta ruotare intorno alla circonferenza per ritornare alla posizione di partenza, la superficie che risulta generata, composta delle due superfici verticalmente opposte, ciascuna delle quali aumenta indefinitamente prolungando indefinitamente la retta generatrice [r], la chiameremo superficie conica. (Conica, lib. I, def. I)

Questa definizione, tratta dal "Le Coniche", può essere semplificata nella seguente forma:

UNA SUPERFICIE CONICA CIRCOLARE SI PUO’ PENSARE COME GENERATA DA UNA RETTA (VP) CHE GIRA INTORNO AD UNA RETTA FISSA (ASSE) MENTRE SI APPOGGIA AD ESSA IN UN PUNTO FISSO (VERTICE) SOTTO ANGOLO COSTANTE

Andiamo adesso a imparare come si genera una superficie conica.

Prendiamo una circonferenza C su di un piano Π, innalziamo per il centro O la perpendicolare a al piano Π. Consideriamo un punto V, diverso da O, appartenente alla perpendicolare a ed un punto P appartenente a C, per questi due punti passa la retta VP. Se il punto P ruota attorno alla circonferenza C, con la stessa rotazione VP inscriverà un superficie: tutte le rette VP si chiamano “generatrici”, la retta a si chiama “asse”, il punto V “vertice”.

In base alla posizione che un piano sezionante a assume rispetto all'asse e alle generatrici, non passando per il vertice V, otterremo diverse sezioni coniche: ellisse, circonferenza, parabola e iperbole.

ELLISSE: il piano sezionante interseca l’asse e tutte le generatrici. Si forma una linea chiusa i cui punti si trovano tutti in una stessa falda. Se il piano secante passa per il vertice V l’ellisse degenera in un punto. Se è perpendicolare all'asse e non passa per V, in una circonferenza.

PARABOLA: si ottiene sezionando la superficie con un piano α parallelo ad una generatrice. Si forma una curva illimitata ed aperta i cui punti si trovano tutti in una stessa falda.

IPERBOLE: si ottiene sezionando la superficie con un piano α parallelo a due generatrici. Si formano due curve illimitate ed aperte costituite da punti situati sulle due falde del cono.

A seconda dell'angolo che un piano a passante per il vertice V forma con l'asse, otteniamo le coniche degeneri. Ne abbiamo già incontrata una trattando l'ellisse, dove un piano secante, se passante per il vertice V, da luogo a un punto.

PARABOLA DEGENERE: Il piano α passante per il vertice V è tangente al cono; in tal caso individua una retta (due coincidenti).
IPERBOLE DEGENERE: il piano α passante per il vertice V è secante il cono; in tal caso individua due rette distinte

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