LE CONICHE Giovanni Costantini IIIF
Prima di entrare nel pieno del mondo delle coniche, è bene fare un'introduzione accurata a partire dalla definizione, e poi dalla costruzione, di una superficie conica:
Questa definizione, tratta dal "Le Coniche", può essere semplificata nella seguente forma:
UNA SUPERFICIE CONICA CIRCOLARE SI PUO’ PENSARE COME GENERATA DA UNA RETTA (VP) CHE GIRA INTORNO AD UNA RETTA FISSA (ASSE) MENTRE SI APPOGGIA AD ESSA IN UN PUNTO FISSO (VERTICE) SOTTO ANGOLO COSTANTE
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Andiamo adesso a imparare come si genera una superficie conica.
Prendiamo una circonferenza C su di un piano Π, innalziamo per il centro O la perpendicolare a al piano Π. Consideriamo un punto V, diverso da O, appartenente alla perpendicolare a ed un punto P appartenente a C, per questi due punti passa la retta VP. Se il punto P ruota attorno alla circonferenza C, con la stessa rotazione VP inscriverà un superficie: tutte le rette VP si chiamano “generatrici”, la retta a si chiama “asse”, il punto V “vertice”.
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In base alla posizione che un piano sezionante a assume rispetto all'asse e alle generatrici, non passando per il vertice V, otterremo diverse sezioni coniche: ellisse, circonferenza, parabola e iperbole.
PARABOLA: si ottiene sezionando la superficie con un piano α parallelo ad una generatrice. Si forma una curva illimitata ed aperta i cui punti si trovano tutti in una stessa falda.
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IPERBOLE: si ottiene sezionando la superficie con un piano α parallelo a due generatrici. Si formano due curve illimitate ed aperte costituite da punti situati sulle due falde del cono.
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A seconda dell'angolo che un piano a passante per il vertice V forma con l'asse, otteniamo le coniche degeneri. Ne abbiamo già incontrata una trattando l'ellisse, dove un piano secante, se passante per il vertice V, da luogo a un punto.